Mutual Independence (상호 독립)

상호 독립의 정의

세 개 이상의 사건 A, B, C가 상호 독립(Mutually Independent)이려면, 다음 조건을 모두 만족해야 한다:

1. 각각의 사건이 독립이어야 한다.
   P(A∩B) = P(A)P(B)
   P(A∩C)=P(A)P(C)
   P(B∩C)=P(B)P(C)
2. 세 사건을 함께 고려했을 때도 독립이어야 한다.
   P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)

즉, 쌍(pair) 단위로 독립인 것만으로는 부족하고, 전체적인 독립성도 확인해야 한다.

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독립 사건과 상호 독립 사건의 차이

• 독립 사건 (Independent Events): 두 개의 사건이 서로 영향을 주지 않음.
• 상호 독립 (Mutual Independence): 세 개 이상의 사건이 개별적으로 뿐만 아니라 전체적으로도 독립이어야 함.

즉, 모든 쌍이 독립이라고 해서 상호 독립인 것은 아니다.

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예제 1: 동전 세 개 던지기

문제: 동전을 세 번 던질 때,

• A: 첫 번째 동전이 앞면
• B: 두 번째 동전이 앞면
• C: 세 번째 동전이 앞면
  
  이 세 사건이 상호 독립인지 확인하자.

 

풀이:

1. 각 사건의 확률
   P(A) = P(B) = P(C) = 1/2
   ​
2. 두 개씩 고려한 독립성 확인
   P(A∩B) = P(A)P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4
   (실제 A와 B가 모두 앞면일 확률도 1/4​이므로 성립)
   같은 방식으로 P(A∩C) 및 P(B∩C)도 확인 가능.
   
   
3. 세 개의 사건을 모두 고려한 독립성 확인
   P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8​

모든 조건이 만족되므로, A, B, C는 상호 독립이다.