Independence (독립성)

독립성

독립성(Independence)이란 두 사건이 서로 영향을 미치지 않는 경우를 의미한다. 즉, 어떤 사건 A가 발생해도 다른 사건 B의 발생 확률이 변하지 않을 때 이 두 사건은 독립이라고 한다.

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독립 사건의 정의

사건 A와 B가 독립이면, 다음 식을 만족해야 한다:

P(A∩B) = P(A)P(B)

즉, 두 사건이 독립이면, 각 사건의 확률을 곱한 값이 두 사건이 동시에 발생할 확률과 같다.

이 공식은 곱셈 법칙을 변형한 형태이다. 만약 이 식이 성립하지 않는다면, A와 B는 독립이 아니다.

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조건부 확률을 통한 독립성의 정의

독립 사건의 경우 조건부 확률이 다음과 같이 성립해야 한다:

P(A∣B)=P(A)

P(B∣A)=P(B)

즉, B가 발생했다는 정보가 있어도 A가 발생할 확률이 변하지 않는다면, A와 B는 독립이다.

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독립 사건과 배반 사건의 차이

• 독립 사건: 서로 영향을 주지 않음 → P(A∩B) = P(A)P(B)
• 배반 사건 (Mutually Exclusive Events): 동시에 발생할 수 없음 → P(A∩B) = 0

독립 사건 ≠ 배반 사건
→ 두 사건이 배반이면, 둘이 동시에 발생할 확률이 0이므로 P(A)P(B)P(A) P(B)P(A)P(B)와 같을 수 없음.
→ 즉, 배반 사건은 절대 독립일 수 없다.

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3. 예제 1: 동전 던지기

문제: 동전을 두 번 던질 때, 첫 번째 동전이 앞면이 나오는 사건을 A, 두 번째 동전이 앞면이 나오는 사건을 B라고 하자.
A와 B는 독립인가?

 

풀이:

• 첫 번째 동전이 앞면일 확률: P(A) = 1/2​
• 두 번째 동전이 앞면일 확률: P(B) = 1/2​
• 두 동전이 모두 앞면이 나올 확률: P(A∩B) = 1/2 × 1/2 ​= 1/4​

공식 적용:

P(A∩B) = P(A)P(B)
​1/4 = 1/2 × 1/2

성립하므로, A와 B는 독립 사건이다.