Law of Total Probability (전체 확률의 법칙)

전체 확률의 법칙

전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)은 서로소(Disjoint) 사건들로 이루어진 전체 표본 공간을 활용하여 특정 사건의 확률을 계산하는 방법이다.

 

어떤 사건 A가 전체 표본 공간 S를 구성하는 여러 개의 서로소 사건 B1, B2,..., Bn​ 중 하나에서만 발생한다고 하자.
이때, 전체 확률의 법칙은 다음과 같이 표현할 수 있다:

P(A) = P(A∩B₁) + P(A∩B₂) + ⋯ + P(A∩B_n)

이걸 조건부 확률을 이용하면,

P(A) = P(A∣B₁)P(B₁) + P(A∣B₂)P(B₂) + ⋯ + P(A∣B_n)P(B_n)

즉, 어떤 사건 A가 여러 가능한 경우 중 하나에서 발생할 확률을 합산하는 것이다.

전체 확률의 법칙을 이해하면, 복잡한 확률 문제를 서로소 사건으로 나누어 쉽게 해결할 수 있다.

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예제 1: 질병 검사 문제

문제:
한 병원의 환자 중 70%는 감기이고, 30%는 독감이다.
감기가 있는 사람이 기침할 확률은 40%, 독감이 있는 사람이 기침할 확률은 80%라고 하자.
어떤 사람이 병원에서 기침할 확률 P(C)을 구해보자.

 

풀이:

• B₁​: 감기 (70%) → P(B1) = 0.7
• B₂​: 독감 (30%) → P(B2) = 0.3
• P(C∣B₁) = 0.4 (감기 환자가 기침할 확률)
• P(C∣B₂) = 0.8 (독감 환자가 기침할 확률)

전체 확률의 법칙을 적용하면:

P(C) = P(C∣B₁)P(B₁) + P(C∣B₂)P(B₂) = (0.4 × 0.7) + (0.8 × 0.3) = 0.28 + 0.24 = 0.52

즉, 병원에서 무작위로 한 명을 골랐을 때, 그 사람이 기침할 확률은 52%이다.

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예제 2: 주사위 문제

문제:
주머니에 두 개의 주사위가 있다.
하나는 공정한 주사위 (D1​), 하나는 조작된 주사위 (D2)다.
조작된 주사위는 6이 나올 확률이 50%, 나머지 5개 숫자가 동일한 확률을 가잔다.
주머니에서 랜덤으로 주사위를 하나 골라 던졌을 때, 6이 나올 확률은?

풀이:

• P(D₁) = 0.5 (공정한 주사위를 뽑을 확률)
• P(D₂) = 0.5 (조작된 주사위를 뽑을 확률)
• P(6∣D₁) = 1/6​ (공정한 주사위에서 6이 나올 확률)
• P(6∣D₂) = 0.5 (조작된 주사위에서 6이 나올 확률)

전체 확률의 법칙을 적용하면:

P(6) = P(6∣D₁)P(D₁) + P(6∣D₂)P(D₂)P(6) = (1/6 × 0.5) + (0.5 × 0.5) = 1/12 + 1/4 = 1/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3​

즉, 랜덤 하게 주사위를 골라 던졌을 때, 6이 나올 확률은 1/3​이다.