Properties of Probability Models (확률 모델의 성질)

확률 모델의 성질

확률 모델은 몇 가지 중요한 성질을 만족해야 한다. 이를 이해하면 확률을 다룰 때 논리적으로 접근할 수 있다.

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확률의 기본 성질

확률 함수 P는 표본 공간에서 정의되며 다음 성질을 만족해야 한다:

1. 확률의 범위 (Bounded Probability)
   0 ≤ P(A) ≤ 1
   • 확률은 항상 0 이상 1 이하의 값을 가져야 한다.
   • 예: 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 0.5로, 이 범위 내에 있다.
2. 전체 표본 공간의 확률 (Total Probability)
   P(S) = 1
   • 표본 공간에서 가능한 모든 결과를 고려하면, 반드시 하나의 사건이 발생하기 때문에 전체 확률은 1이다.
   • 예: 주사위를 던지면 반드시 {1,2,3,4,5,6} 중 하나가 나오므로, P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1.

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덧셈 법칙 (Addition Rule)

 

1. 서로소(배반) 사건의 경우
   • 두 사건 A와 B가 서로소(Disjoint, 즉 교집합이 없음)라면:
     P(A∪B) = P(A) + P(B)
   • 예: 주사위를 던질 때,
     • A = {1, 2} (1 또는 2가 나오는 사건)
     • B = {5, 6} (5 또는 6이 나오는 사건)
     • A∩B = ∅ (서로소)
     • 따라서 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6​.
2. 일반적인 경우 (중복을 제거해야 하는 경우)
   • 두 사건이 겹칠 수 있다면: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
   • 예: 주사위를 던질 때,
     • A={2, 4, 6} (짝수)
     • B={4, 5, 6} (4 이상)
     • A∩B = {4, 6} (둘 다 해당하는 숫자)
     • P(A) = 3/6, P(B) = 3/6, P(A∩B) = 2/6​
     • 따라서 P(A∪B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4 /6​.

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여집합의 확률 (Complement Rule)

P(A^c) = 1 − P(A)

• 어떤 사건 A가 발생하지 않을 확률은 1에서 A가 발생할 확률을 뺀 값이다.
• 예: 주사위를 던졌을 때 4 이상의 숫자가 나올 확률이 P(A) = 3/6​이라면, 4 미만의 숫자가 나올 확률은 P(A^c) = 1 − 3/6 = 3/6​.