The Binomial Distribution (이항 분포)

이항 분포

이항 분포(Binomial Distribution)는 베르누이 시행을 여러 번 반복했을 때 성공하는 횟수를 나타내는 확률 분포이다.

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이항 분포란?

이항 분포는 성공/실패(binary outcome)가 존재하는 독립적인 시행을 여러 번 반복하는 경우 사용된다.

• 각 시행은 베르누이 시행 (즉, 성공/실패의 두 가지 결과만 존재).
• 모든 시행에서 성공 확률 p가 동일.
• n번의 시행 중 성공 횟수 X를 확률 변수로 가짐.

이항 분포는 "반복된 베르누이 시행"에서 특정 횟수만큼 성공할 확률을 모델링한다.

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이항 분포의 확률 질량 함수 (PMF)

확률 변수가 이항 분포를 따른다면 다음과 같이 표현된다:

이때 확률 질량 함수(PMF)는:

여기서:

• k = 성공 횟수 (우리가 구하려는 값)
• n = 시행 횟수 (총 몇 번 반복하는지)
• p = 단일 시행에서의 성공 확률
• nCk = 조합(combination), n번 중 k번 성공할 경우의 수

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기댓값과 분산

이항 분포의 기댓값(평균)과 분산은 간단한 공식으로 구할 수 있다:

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이항 분포의 활용

• 품질 관리: 공장에서 샘플링하여 불량품이 나올 확률 계산
• 의학 실험: 백신 접종 후 면역 반응을 보이는 사람의 비율 분석
• A/B 테스트: 광고 클릭 여부(클릭=1, 미클릭=0)의 분포 분석

성공 횟수를 예측하는 데 매우 유용한 확률 분포이다.

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예제 1: 동전을 5번 던질 때 앞면이 3번 나올 확률

동전을 5번 던지고 앞면(성공)이 나올 확률이 0.5라고 하자.
X를 "앞면이 나오는 횟수"라고 하면,
X ∼ Binomial(5, 0.5)

 

이때, 앞면이 3번 나올 확률은:

동전을 5번 던졌을 때 앞면이 정확히 3번 나올 확률은 31.25%이다.